פתור את {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=1$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎-7y.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

החסר ‎\frac{2}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{25}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{8}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{25} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{8}{25} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{16}{75} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{25}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

פשט.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

החסר את ‎6x-21y=-6 מ- ‎6x+4y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+21y=2+6$$

הוסף את ‎4y ל- ‎21y.

$$25y=2+6$$

הוסף את ‎2 ל- ‎6.

$$25y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$y=\frac{8}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{25} במקום y ב- ‎2x-7y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{8}{25}.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

הוסף ‎\frac{56}{25} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{6}{25}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{3}{25}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$