פתור את {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=1$$

$$n=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3m+4n=7$$

החסר ‎4n משני אגפי המשוואה.

$$3m=-4n+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4n+7}{3} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

הוסף את ‎-\frac{16n}{3} ל- ‎-3n.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

הוסף את ‎\frac{28}{3} ל- ‎-1.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

החסר ‎\frac{25}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{25}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום n ב- ‎m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=1,n=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=1,n=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

כדי להפוך את ‎3m ו- ‎4m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

פשט.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

החסר את ‎12m-9n-3=0 מ- ‎12m+16n=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

הוסף את ‎12m ל- ‎-12m. האיברים ‎12m ו- ‎-12m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16n+9n+3=28$$

הוסף את ‎16n ל- ‎9n.

$$25n+3=28$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$25n=25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$n=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום n ב- ‎4m-3n-1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$4m-3-1=0$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-1.

$$4m-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$4m=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$m=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=1,n=1$$