פתור את {l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=3$$

$$b=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3a+7b=44$$

החסר ‎7b משני אגפי המשוואה.

$$3a=-7b+44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-7b+44.

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7b+44}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎-5a+6b=15.

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{-7b+44}{3}.

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

הוסף את ‎\frac{35b}{3} ל- ‎6b.

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

הוסף ‎\frac{220}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{53}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום b ב- ‎a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{3} ב- ‎5.

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

הוסף את ‎\frac{44}{3} ל- ‎-\frac{35}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=3,b=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

כדי להפוך את ‎3a ו- ‎-5a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

פשט.

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

החסר את ‎-15a+18b=45 מ- ‎-15a-35b=-220 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

הוסף את ‎-15a ל- ‎15a. האיברים ‎-15a ו- ‎15a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-35b-18b=-220-45$$

הוסף את ‎-35b ל- ‎-18b.

$$-53b=-220-45$$

הוסף את ‎-220 ל- ‎-45.

$$-53b=-265$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-53.

$$b=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום b ב- ‎-5a+6b=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$-5a+6\times 5=15$$

הכפל את ‎6 ב- ‎5.

$$-5a+30=15$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$-5a=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=5$$