פתור את {l}{3a+2b=6}{-b+3a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 2 b = 6 } \\ { - b + 3 a = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=\frac{8}{9}\approx 0.888888889$$

$$b = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3a+2b=6,3a-b=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3a+2b=6$$

החסר ‎2b משני אגפי המשוואה.

$$3a=-2b+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-2b+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2b+6.

$$a=-\frac{2}{3}b+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{2b}{3}+2 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎3a-b=1.

$$3\left(-\frac{2}{3}b+2\right)-b=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{2b}{3}+2.

$$-2b+6-b=1$$

הוסף את ‎-2b ל- ‎-b.

$$-3b+6=1$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-3b=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$b=\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום b ב- ‎a=-\frac{2}{3}b+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{2}{3}\times \frac{5}{3}+2$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-\frac{10}{9}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{10}{9}.

$$a=\frac{8}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{9},b=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3a+2b=6,3a-b=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{2}{9}\\\frac{1}{3}\times 6-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{8}{9},b=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3a+2b=6,3a-b=1$$

החסר את ‎3a-b=1 מ- ‎3a+2b=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3a-3a+2b+b=6-1$$

הוסף את ‎3a ל- ‎-3a. האיברים ‎3a ו- ‎-3a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2b+b=6-1$$

הוסף את ‎2b ל- ‎b.

$$3b=6-1$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-1.

$$3b=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$b=\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום b ב- ‎3a-b=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$3a-\frac{5}{3}=1$$

הוסף ‎\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$3a=\frac{8}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{8}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{9},b=\frac{5}{3}$$