פתור את {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3a+14b=4$$

החסר ‎14b משני אגפי המשוואה.

$$3a=-14b+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-14b+4}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

הכפל את ‎13 ב- ‎\frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

הוסף את ‎-\frac{182b}{3} ל- ‎19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

החסר ‎\frac{52}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{125}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=\frac{13}{125}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{125} במקום b ב- ‎a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{14}{3} ב- ‎\frac{13}{125} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-\frac{182}{375} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{106}{125}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

כדי להפוך את ‎3a ו- ‎13a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎13 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

פשט.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

החסר את ‎39a+57b=39 מ- ‎39a+182b=52 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

הוסף את ‎39a ל- ‎-39a. האיברים ‎39a ו- ‎-39a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$182b-57b=52-39$$

הוסף את ‎182b ל- ‎-57b.

$$125b=52-39$$

הוסף את ‎52 ל- ‎-39.

$$125b=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎125.

$$b=\frac{13}{125}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{125} במקום b ב- ‎13a+19b=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

הכפל את ‎19 ב- ‎\frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

החסר ‎\frac{247}{125} משני אגפי המשוואה.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$a=\frac{106}{125}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$