פתור את {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$3x-3=2y-2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x-3-2y=-2$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$3x-2y=-2+3$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$3x-2y=1$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+5.

$$4y-4=3x+15$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$4y-4-3x=15$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$4y-3x=15+4$$

חבר את ‎15 ו- ‎4 כדי לקבל ‎19.

$$4y-3x=19$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎4y.

$$2y-1=19$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{20}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$3x-3=2y-2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x-3-2y=-2$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$3x-2y=-2+3$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$3x-2y=1$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+5.

$$4y-4=3x+15$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$4y-4-3x=15$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$4y-3x=15+4$$

חבר את ‎15 ו- ‎4 כדי לקבל ‎19.

$$4y-3x=19$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$3x-3=2y-2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x-3-2y=-2$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$3x-2y=-2+3$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$3x-2y=1$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+5.

$$4y-4=3x+15$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$4y-4-3x=15$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$4y-3x=15+4$$

חבר את ‎15 ו- ‎4 כדי לקבל ‎19.

$$4y-3x=19$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

פשט.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

החסר את ‎-9x+12y=57 מ- ‎-9x+6y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

הוסף את ‎-9x ל- ‎9x. האיברים ‎-9x ו- ‎9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-12y=-3-57$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-12y.

$$-6y=-3-57$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-57.

$$-6y=-60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎-3x+4y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+4\times 10=19$$

הכפל את ‎4 ב- ‎10.

$$-3x+40=19$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=10$$