\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + s = 7 x } \end{array} \right.
פתור עבור x, y (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.
פתור עבור x, y
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.
גרף
שתף
הועתק ללוח
3x+6=2y
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-2y=0
החסר 2y משני האגפים.
3x-2y=-6
החסר 6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
2cy+s-7x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר 7x משני האגפים.
2cy-7x=-s
החסר s משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
3x-2y=-6,-7x+2cy=-s
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
3x-2y=-6
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
3x=2y-6
הוסף 2y לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=\frac{2}{3}y-2
הכפל את \frac{1}{3} ב- -6+2y.
-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s
השתמש ב- \frac{2y}{3}-2 במקום x במשוואה השניה, -7x+2cy=-s.
-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s
הכפל את -7 ב- \frac{2y}{3}-2.
\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s
הוסף את -\frac{14y}{3} ל- 2cy.
\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14
החסר 14 משני אגפי המשוואה.
y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}
חלק את שני האגפים ב- -\frac{14}{3}+2c.
x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2
השתמש ב- -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} במקום y ב- x=\frac{2}{3}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-\frac{s+14}{3c-7}-2
הכפל את \frac{2}{3} ב- -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}.
x=-\frac{s+6c}{3c-7}
הוסף את -2 ל- -\frac{s+14}{-7+3c}.
x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}
המערכת נפתרה כעת.
3x+6=2y
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-2y=0
החסר 2y משני האגפים.
3x-2y=-6
החסר 6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
2cy+s-7x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר 7x משני האגפים.
2cy-7x=-s
החסר s משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
3x-2y=-6,-7x+2cy=-s
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
3x+6=2y
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-2y=0
החסר 2y משני האגפים.
3x-2y=-6
החסר 6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
2cy+s-7x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר 7x משני האגפים.
2cy-7x=-s
החסר s משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
3x-2y=-6,-7x+2cy=-s
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)
כדי להפוך את 3x ו- -7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- -7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 3.
-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s
פשט.
-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s
החסר את -21x+6cy=-3s מ- -21x+14y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
14y+\left(-6c\right)y=42+3s
הוסף את -21x ל- 21x. האיברים -21x ו- 21x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
\left(14-6c\right)y=42+3s
הוסף את 14y ל- -6cy.
\left(14-6c\right)y=3s+42
הוסף את 42 ל- 3s.
y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}
חלק את שני האגפים ב- 14-6c.
-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s
השתמש ב- \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} במקום y ב- -7x+2cy=-s. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s
הכפל את 2c ב- \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}.
-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}
החסר \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} משני אגפי המשוואה.
x=\frac{s+6c}{7-3c}
חלק את שני האגפים ב- -7.
x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}
המערכת נפתרה כעת.
3x+6=2y
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-2y=0
החסר 2y משני האגפים.
3x-2y=-6
החסר 6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
2cy+s-7x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר 7x משני האגפים.
2cy-7x=-s
החסר s משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
3x-2y=-6,-7x+2cy=-s
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
3x-2y=-6
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
3x=2y-6
הוסף 2y לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=\frac{2}{3}y-2
הכפל את \frac{1}{3} ב- -6+2y.
-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s
השתמש ב- \frac{2y}{3}-2 במקום x במשוואה השניה, -7x+2cy=-s.
-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s
הכפל את -7 ב- \frac{2y}{3}-2.
\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s
הוסף את -\frac{14y}{3} ל- 2cy.
\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14
החסר 14 משני אגפי המשוואה.
y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}
חלק את שני האגפים ב- -\frac{14}{3}+2c.
x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2
השתמש ב- -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} במקום y ב- x=\frac{2}{3}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-\frac{s+14}{3c-7}-2
הכפל את \frac{2}{3} ב- -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}.
x=-\frac{s+6c}{3c-7}
הוסף את -2 ל- -\frac{s+14}{-7+3c}.
x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}
המערכת נפתרה כעת.
3x+6=2y
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-2y=0
החסר 2y משני האגפים.
3x-2y=-6
החסר 6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
2cy+s-7x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר 7x משני האגפים.
2cy-7x=-s
החסר s משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
3x-2y=-6,-7x+2cy=-s
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
3x+6=2y
שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-2y=0
החסר 2y משני האגפים.
3x-2y=-6
החסר 6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
2cy+s-7x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר 7x משני האגפים.
2cy-7x=-s
החסר s משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.
3x-2y=-6,-7x+2cy=-s
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)
כדי להפוך את 3x ו- -7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- -7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 3.
-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s
פשט.
-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s
החסר את -21x+6cy=-3s מ- -21x+14y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
14y+\left(-6c\right)y=42+3s
הוסף את -21x ל- 21x. האיברים -21x ו- 21x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
\left(14-6c\right)y=42+3s
הוסף את 14y ל- -6cy.
\left(14-6c\right)y=3s+42
הוסף את 42 ל- 3s.
y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}
חלק את שני האגפים ב- 14-6c.
-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s
השתמש ב- \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} במקום y ב- -7x+2cy=-s. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s
הכפל את 2c ב- \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}.
-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}
החסר \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} משני אגפי המשוואה.
x=\frac{s+6c}{7-3c}
חלק את שני האגפים ב- -7.
x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}