פתור את {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.

$$3x+6=2y$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x+6-2y=0$$

החסר ‎6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-2y=-6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$2cy+5-7x=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$2cy-7x=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=-6$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

הוסף את ‎-\frac{14y}{3} ל- ‎2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{14}{3}+2c.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

השתמש ב- ‎-\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.

$$3x+6=2y$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x+6-2y=0$$

החסר ‎6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-2y=-6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$2cy+5-7x=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$2cy-7x=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.

$$3x+6=2y$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$3x+6-2y=0$$

החסר ‎6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-2y=-6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$2cy+5-7x=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$2cy-7x=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

פשט.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

החסר את ‎-21x+6cy=-15 מ- ‎-21x+14y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

הוסף את ‎-21x ל- ‎21x. האיברים ‎-21x ו- ‎21x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

הוסף את ‎14y ל- ‎-6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

הוסף את ‎42 ל- ‎15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14-6c.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{57}{2\left(7-3c\right)} במקום y ב- ‎-7x+2cy=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

הכפל את ‎2c ב- ‎\frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

החסר ‎\frac{57c}{7-3c} משני אגפי המשוואה.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$