פתור את {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

החסר את 21 מ- -6 כדי לקבל -27.

$$15x-27-14y=2$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$15x-14y=2+27$$

חבר את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎29.

$$15x-14y=29$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

הוסף ‎27x משני הצדדים.

$$6x-2y-23+27x=12$$

כנס את ‎6x ו- ‎27x כדי לקבל ‎33x.

$$33x-2y-23=12$$

הוסף ‎23 משני הצדדים.

$$33x-2y=12+23$$

חבר את ‎12 ו- ‎23 כדי לקבל ‎35.

$$33x-2y=35$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$15x-14y=29$$

הוסף ‎14y לשני אגפי המשוואה.

$$15x=14y+29$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{15} ב- ‎14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{14y+29}{15} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

הכפל את ‎33 ב- ‎\frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

הוסף את ‎\frac{154y}{5} ל- ‎-2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

החסר ‎\frac{319}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{144}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

הכפל את ‎\frac{14}{15} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

הוסף את ‎\frac{29}{15} ל- ‎-\frac{14}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

החסר את 21 מ- -6 כדי לקבל -27.

$$15x-27-14y=2$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$15x-14y=2+27$$

חבר את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎29.

$$15x-14y=29$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

הוסף ‎27x משני הצדדים.

$$6x-2y-23+27x=12$$

כנס את ‎6x ו- ‎27x כדי לקבל ‎33x.

$$33x-2y-23=12$$

הוסף ‎23 משני הצדדים.

$$33x-2y=12+23$$

חבר את ‎12 ו- ‎23 כדי לקבל ‎35.

$$33x-2y=35$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

החסר את 21 מ- -6 כדי לקבל -27.

$$15x-27-14y=2$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$15x-14y=2+27$$

חבר את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎29.

$$15x-14y=29$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

הוסף ‎27x משני הצדדים.

$$6x-2y-23+27x=12$$

כנס את ‎6x ו- ‎27x כדי לקבל ‎33x.

$$33x-2y-23=12$$

הוסף ‎23 משני הצדדים.

$$33x-2y=12+23$$

חבר את ‎12 ו- ‎23 כדי לקבל ‎35.

$$33x-2y=35$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

כדי להפוך את ‎15x ו- ‎33x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎33 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

פשט.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

החסר את ‎495x-30y=525 מ- ‎495x-462y=957 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

הוסף את ‎495x ל- ‎-495x. האיברים ‎495x ו- ‎-495x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-462y+30y=957-525$$

הוסף את ‎-462y ל- ‎30y.

$$-432y=957-525$$

הוסף את ‎957 ל- ‎-525.

$$-432y=432$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-432.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎33x-2y=35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-1.

$$33x+2=35$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$33x=33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎33.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$