פתור את {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$25x+35y=16500$$

החסר ‎35y משני אגפי המשוואה.

$$25x=-35y+16500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{25} ב- ‎-35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{5}+660 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{5} ל- ‎y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

החסר ‎660 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=400$$

השתמש ב- ‎400 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{5}y+660. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

הכפל את ‎-\frac{7}{5} ב- ‎400.

$$x=-560+660$$

הוסף את ‎660 ל- ‎-560.

$$x=100$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=100,y=400$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=100,y=400$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

כדי להפוך את ‎25x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

פשט.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

החסר את ‎25x+25y=12500 מ- ‎25x+35y=16500 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

הוסף את ‎25x ל- ‎-25x. האיברים ‎25x ו- ‎-25x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$35y-25y=16500-12500$$

הוסף את ‎35y ל- ‎-25y.

$$10y=16500-12500$$

הוסף את ‎16500 ל- ‎-12500.

$$10y=4000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=400$$

השתמש ב- ‎400 במקום y ב- ‎x+y=500. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+400=500$$

החסר ‎400 משני אגפי המשוואה.

$$x=100$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=100,y=400$$