פתור את {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$25x+110y=6100$$

החסר ‎110y משני אגפי המשוואה.

$$25x=-110y+6100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{25} ב- ‎-110y+6100.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

השתמש ב- ‎-\frac{22y}{5}+244 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

הוסף את ‎-\frac{22y}{5} ל- ‎y.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

החסר ‎244 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{970}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{970}{17} במקום y ב- ‎x=-\frac{22}{5}y+244. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

הכפל את ‎-\frac{22}{5} ב- ‎\frac{970}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

הוסף את ‎244 ל- ‎-\frac{4268}{17}.

$$x=-\frac{120}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

כדי להפוך את ‎25x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎25.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

פשט.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

החסר את ‎25x+25y=1250 מ- ‎25x+110y=6100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

הוסף את ‎25x ל- ‎-25x. האיברים ‎25x ו- ‎-25x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$110y-25y=6100-1250$$

הוסף את ‎110y ל- ‎-25y.

$$85y=6100-1250$$

הוסף את ‎6100 ל- ‎-1250.

$$85y=4850$$

חלק את שני האגפים ב- ‎85.

$$y=\frac{970}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{970}{17} במקום y ב- ‎x+y=50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

החסר ‎\frac{970}{17} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{120}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$