פתור את {l}{220x+108+100y=352}{600y+220x+108=316}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 220 x + 108 + 100 y = 352 } \\ { 600 y + 220 x + 108 = 316 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{314}{275} = 1\frac{39}{275} \approx 1.141818182$$

$$y=-\frac{9}{125}=-0.072$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$220x+100y+108=352$$

החסר ‎108 משני אגפי המשוואה.

$$220x+100y=244$$

החסר ‎100y משני אגפי המשוואה.

$$220x=-100y+244$$

חלק את שני האגפים ב- ‎220.

$$x=\frac{1}{220}\left(-100y+244\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{220} ב- ‎-100y+244.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{11}+\frac{61}{55} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎220x+600y+108=316.

$$220\left(-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}\right)+600y+108=316$$

הכפל את ‎220 ב- ‎-\frac{5y}{11}+\frac{61}{55}.

$$-100y+244+600y+108=316$$

הוסף את ‎-100y ל- ‎600y.

$$500y+244+108=316$$

הוסף את ‎244 ל- ‎108.

$$500y+352=316$$

החסר ‎352 משני אגפי המשוואה.

$$500y=-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎500.

$$y=-\frac{9}{125}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{125} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{11}\left(-\frac{9}{125}\right)+\frac{61}{55}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{11} ב- ‎-\frac{9}{125} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9}{275}+\frac{61}{55}$$

הוסף את ‎\frac{61}{55} ל- ‎\frac{9}{275} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{314}{275}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{600}{220\times 600-100\times 220}&-\frac{100}{220\times 600-100\times 220}\\-\frac{220}{220\times 600-100\times 220}&\frac{220}{220\times 600-100\times 220}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}&-\frac{1}{1100}\\-\frac{1}{500}&\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}\times 244-\frac{1}{1100}\times 208\\-\frac{1}{500}\times 244+\frac{1}{500}\times 208\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{314}{275}\\-\frac{9}{125}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

החסר את ‎220x+600y+108=316 מ- ‎220x+100y+108=352 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$220x-220x+100y-600y+108-108=352-316$$

הוסף את ‎220x ל- ‎-220x. האיברים ‎220x ו- ‎-220x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$100y-600y+108-108=352-316$$

הוסף את ‎100y ל- ‎-600y.

$$-500y+108-108=352-316$$

הוסף את ‎108 ל- ‎-108.

$$-500y=352-316$$

הוסף את ‎352 ל- ‎-316.

$$-500y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-500.

$$y=-\frac{9}{125}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{125} במקום y ב- ‎220x+600y+108=316. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$220x+600\left(-\frac{9}{125}\right)+108=316$$

הכפל את ‎600 ב- ‎-\frac{9}{125}.

$$220x-\frac{216}{5}+108=316$$

הוסף את ‎-\frac{216}{5} ל- ‎108.

$$220x+\frac{324}{5}=316$$

החסר ‎\frac{324}{5} משני אגפי המשוואה.

$$220x=\frac{1256}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎220.

$$x=\frac{314}{275}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$