פתור את {l}{20-7600x-1600y=0}{20-1000x-6000y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 - 7600 x - 1600 y = 0 } \\ { 20 - 1000 x - 6000 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{500}=0.002$$

$$y=\frac{3}{1000}=0.003$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-7600x-1600y+20=0$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-7600x-1600y=-20$$

הוסף ‎1600y לשני אגפי המשוואה.

$$-7600x=1600y-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7600.

$$x=-\frac{1}{7600}\left(1600y-20\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7600} ב- ‎1600y-20.

$$x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{19}+\frac{1}{380} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-1000x-6000y+20=0.

$$-1000\left(-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}\right)-6000y+20=0$$

הכפל את ‎-1000 ב- ‎-\frac{4y}{19}+\frac{1}{380}.

$$\frac{4000}{19}y-\frac{50}{19}-6000y+20=0$$

הוסף את ‎\frac{4000y}{19} ל- ‎-6000y.

$$-\frac{110000}{19}y-\frac{50}{19}+20=0$$

הוסף את ‎-\frac{50}{19} ל- ‎20.

$$-\frac{110000}{19}y+\frac{330}{19}=0$$

החסר ‎\frac{330}{19} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{110000}{19}y=-\frac{330}{19}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{110000}{19}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{1000}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{1000} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{19}\times \frac{3}{1000}+\frac{1}{380}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{19} ב- ‎\frac{3}{1000} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3}{4750}+\frac{1}{380}$$

הוסף את ‎\frac{1}{380} ל- ‎-\frac{3}{4750} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{500}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{-1600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\\-\frac{-1000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{7600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}&\frac{1}{27500}\\\frac{1}{44000}&-\frac{19}{110000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}\left(-20\right)+\frac{1}{27500}\left(-20\right)\\\frac{1}{44000}\left(-20\right)-\frac{19}{110000}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{500}\\\frac{3}{1000}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

כדי להפוך את ‎-7600x ו- ‎-1000x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1000 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-7600.

$$-1000\left(-7600\right)x-1000\left(-1600\right)y-1000\times 20=0,-7600\left(-1000\right)x-7600\left(-6000\right)y-7600\times 20=0$$

פשט.

$$7600000x+1600000y-20000=0,7600000x+45600000y-152000=0$$

החסר את ‎7600000x+45600000y-152000=0 מ- ‎7600000x+1600000y-20000=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7600000x-7600000x+1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

הוסף את ‎7600000x ל- ‎-7600000x. האיברים ‎7600000x ו- ‎-7600000x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

הוסף את ‎1600000y ל- ‎-45600000y.

$$-44000000y-20000+152000=0$$

הוסף את ‎-20000 ל- ‎152000.

$$-44000000y+132000=0$$

החסר ‎132000 משני אגפי המשוואה.

$$-44000000y=-132000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-44000000.

$$y=\frac{3}{1000}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{1000} במקום y ב- ‎-1000x-6000y+20=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-1000x-6000\times \frac{3}{1000}+20=0$$

הכפל את ‎-6000 ב- ‎\frac{3}{1000}.

$$-1000x-18+20=0$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎20.

$$-1000x+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-1000x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1000.

$$x=\frac{1}{500}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$