פתור את {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎20 משני האגפים.

$$x+y=115-20$$

החסר את 20 מ- 115 כדי לקבל 95.

$$x+y=95$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎8y משני האגפים.

$$11x-8y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=95$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+95$$

השתמש ב- ‎-y+95 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

הכפל את ‎11 ב- ‎-y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

הוסף את ‎-11y ל- ‎-8y.

$$-19y+1045=0$$

החסר ‎1045 משני אגפי המשוואה.

$$-19y=-1045$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=55$$

השתמש ב- ‎55 במקום y ב- ‎x=-y+95. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-55+95$$

הוסף את ‎95 ל- ‎-55.

$$x=40$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=40,y=55$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎20 משני האגפים.

$$x+y=115-20$$

החסר את 20 מ- 115 כדי לקבל 95.

$$x+y=95$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎8y משני האגפים.

$$11x-8y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=40,y=55$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎20 משני האגפים.

$$x+y=115-20$$

החסר את 20 מ- 115 כדי לקבל 95.

$$x+y=95$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎8y משני האגפים.

$$11x-8y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎11x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎11 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

פשט.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

החסר את ‎11x-8y=0 מ- ‎11x+11y=1045 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

הוסף את ‎11x ל- ‎-11x. האיברים ‎11x ו- ‎-11x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$11y+8y=1045$$

הוסף את ‎11y ל- ‎8y.

$$19y=1045$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=55$$

השתמש ב- ‎55 במקום y ב- ‎11x-8y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$11x-8\times 55=0$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎55.

$$11x-440=0$$

הוסף ‎440 לשני אגפי המשוואה.

$$11x=440$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$x=40$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=40,y=55$$