פתור את {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$2y-3x=-6$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2y-3x=-6$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$2y=3x-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

השתמש ב- ‎\frac{3x}{2}-3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

הוסף את ‎6x ל- ‎5x.

$$11x-12=8$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$11x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$x=\frac{20}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{20}{11} במקום x ב- ‎y=\frac{3}{2}x-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{20}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎\frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$2y-3x=-6$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$2y-3x=-6$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

כדי להפוך את ‎2y ו- ‎4y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

פשט.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

החסר את ‎8y+10x=16 מ- ‎8y-12x=-24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-8y. האיברים ‎8y ו- ‎-8y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12x-10x=-24-16$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎-10x.

$$-22x=-24-16$$

הוסף את ‎-24 ל- ‎-16.

$$-22x=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$x=\frac{20}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{20}{11} במקום x ב- ‎4y+5x=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

החסר ‎\frac{100}{11} משני אגפי המשוואה.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$