פתור את {l}{2x-y=6}{x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=6$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=-3.

$$\frac{1}{2}y+3+y=-3$$

הוסף את ‎\frac{y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{3}{2}y+3=-3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}y=-6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+3$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4.

$$x=-2+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x-y=6,2x+2y=2\left(-3\right)$$

פשט.

$$2x-y=6,2x+2y=-6$$

החסר את ‎2x+2y=-6 מ- ‎2x-y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-y-2y=6+6$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-y-2y=6+6$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-2y.

$$-3y=6+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎6.

$$-3y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x+y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-4=-3$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-4$$