פתור את {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-x+3y=30$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=5$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=13$$

השתמש ב- ‎13 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{13}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=13$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-x+3y=30$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=13$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-x+3y=30$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

פשט.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

החסר את ‎-2x+6y=60 מ- ‎-2x+y=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-6y=-5-60$$

הוסף את ‎y ל- ‎-6y.

$$-5y=-5-60$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎-60.

$$-5y=-65$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=13$$

השתמש ב- ‎13 במקום y ב- ‎-x+3y=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+3\times 13=30$$

הכפל את ‎3 ב- ‎13.

$$-x+39=30$$

החסר ‎39 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=13$$