פתור את {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$2x-y-4x=-3$$

כנס את ‎2x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-y=-3$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x-y=-3$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎1.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$2x-y-4x=-3$$

כנס את ‎2x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-y=-3$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$2x-y-4x=-3$$

כנס את ‎2x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-y=-3$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

פשט.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

החסר את ‎-2x-2y=-1 מ- ‎-2x-y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-y+2y=-3+1$$

הוסף את ‎-y ל- ‎2y.

$$y=-3+1$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎1.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x+y=\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$