פתור את {l}{2x-y=3}{x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=3,x-y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=3$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=-1.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-1$$

הוסף את ‎\frac{y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=-1$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{5}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 5+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎5.

$$x=\frac{5+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=3,x-y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-\left(-1\right)\\3-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=3,x-y=-1$$

החסר את ‎x-y=-1 מ- ‎2x-y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-x-y+y=3+1$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-x=3+1$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-x.

$$x=3+1$$

הוסף את ‎3 ל- ‎1.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎x-y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4-y=-1$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=5$$