פתור את {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. כנס את ‎2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎x.

$$x=4m+2$$

השתמש ב- ‎4m+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x-5m=-5.

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

הוסף את ‎-4m ל- ‎-5m.

$$-9m-2=-5$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-9m=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$m=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום m ב- ‎x=4m+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. כנס את ‎2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎x.

$$x=4m+2$$

החסר ‎4m משני האגפים.

$$x-4m=2$$

שקול את המשוואה השניה. כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x=5m-5$$

החסר ‎5m משני האגפים.

$$-x-5m=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- m.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. כנס את ‎2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎x.

$$x=4m+2$$

החסר ‎4m משני האגפים.

$$x-4m=2$$

שקול את המשוואה השניה. כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x=5m-5$$

החסר ‎5m משני האגפים.

$$-x-5m=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

פשט.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

החסר את ‎-x-5m=-5 מ- ‎-x+4m=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4m+5m=-2+5$$

הוסף את ‎4m ל- ‎5m.

$$9m=-2+5$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎5.

$$9m=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$m=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום m ב- ‎-x-5m=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

הוסף ‎\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=\frac{10}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$