פתור את {l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-7y=8$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=7y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎7y+8.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=-3.2.

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{7y}{2}+4.

$$-7y-8+y=-3.2$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎y.

$$-6y-8=-3.2$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$-6y=4.8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-0.8$$

השתמש ב- ‎-0.8 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

הכפל את ‎\frac{7}{2} ב- ‎-0.8 על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{14}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

פשט.

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

החסר את ‎-4x+2y=-6.4 מ- ‎-4x+14y=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$14y-2y=-16+6.4$$

הוסף את ‎14y ל- ‎-2y.

$$12y=-16+6.4$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎6.4.

$$12y=-9.6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=-\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{5} במקום y ב- ‎-2x+y=-3.2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$