פתור את {l}{2x-6y=34}{8x-3y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 34 } \\ { 8 x - 3 y = - 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-6y=34$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=6y+34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+34\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎6y+34.

$$x=3y+17$$

השתמש ב- ‎3y+17 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-3y=-11.

$$8\left(3y+17\right)-3y=-11$$

הכפל את ‎8 ב- ‎3y+17.

$$24y+136-3y=-11$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-3y.

$$21y+136=-11$$

החסר ‎136 משני אגפי המשוואה.

$$21y=-147$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎x=3y+17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\left(-7\right)+17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-7.

$$x=-21+17$$

הוסף את ‎17 ל- ‎-21.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 34+\frac{1}{7}\left(-11\right)\\-\frac{4}{21}\times 34+\frac{1}{21}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$8\times 2x+8\left(-6\right)y=8\times 34,2\times 8x+2\left(-3\right)y=2\left(-11\right)$$

פשט.

$$16x-48y=272,16x-6y=-22$$

החסר את ‎16x-6y=-22 מ- ‎16x-48y=272 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$16x-16x-48y+6y=272+22$$

הוסף את ‎16x ל- ‎-16x. האיברים ‎16x ו- ‎-16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-48y+6y=272+22$$

הוסף את ‎-48y ל- ‎6y.

$$-42y=272+22$$

הוסף את ‎272 ל- ‎22.

$$-42y=294$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-42.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎8x-3y=-11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-3\left(-7\right)=-11$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-7.

$$8x+21=-11$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$8x=-32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-7$$