פתור את {l}{2x-5y=-3}{-4x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 3 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=-3$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎5y-3.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+y=-3.

$$-4\left(\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{5y-3}{2}.

$$-10y+6+y=-3$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎y.

$$-9y+6=-3$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-9y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5-3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\left(-3\right)-\frac{5}{18}\left(-3\right)\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)-\frac{1}{9}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-4\times 2x-4\left(-5\right)y=-4\left(-3\right),2\left(-4\right)x+2y=2\left(-3\right)$$

פשט.

$$-8x+20y=12,-8x+2y=-6$$

החסר את ‎-8x+2y=-6 מ- ‎-8x+20y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+20y-2y=12+6$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-2y=12+6$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-2y.

$$18y=12+6$$

הוסף את ‎12 ל- ‎6.

$$18y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-4x+y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+1=-3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$