\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=\frac{1}{2}=0.5
y=-3
גרף
שתף
הועתק ללוח
2x-3y=10
שקול את המשוואה הראשונה. הוסף 10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.
7y+8x=-17
שקול את המשוואה השניה. הוסף 8x משני הצדדים.
2x-3y=10,8x+7y=-17
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
2x-3y=10
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
2x=3y+10
הוסף 3y לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=\frac{3}{2}y+5
הכפל את \frac{1}{2} ב- 3y+10.
8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17
השתמש ב- \frac{3y}{2}+5 במקום x במשוואה השניה, 8x+7y=-17.
12y+40+7y=-17
הכפל את 8 ב- \frac{3y}{2}+5.
19y+40=-17
הוסף את 12y ל- 7y.
19y=-57
החסר 40 משני אגפי המשוואה.
y=-3
חלק את שני האגפים ב- 19.
x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5
השתמש ב- -3 במקום y ב- x=\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-\frac{9}{2}+5
הכפל את \frac{3}{2} ב- -3.
x=\frac{1}{2}
הוסף את 5 ל- -\frac{9}{2}.
x=\frac{1}{2},y=-3
המערכת נפתרה כעת.
2x-3y=10
שקול את המשוואה הראשונה. הוסף 10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.
7y+8x=-17
שקול את המשוואה השניה. הוסף 8x משני הצדדים.
2x-3y=10,8x+7y=-17
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{1}{2},y=-3
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
2x-3y=10
שקול את המשוואה הראשונה. הוסף 10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.
7y+8x=-17
שקול את המשוואה השניה. הוסף 8x משני הצדדים.
2x-3y=10,8x+7y=-17
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)
כדי להפוך את 2x ו- 8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 2.
16x-24y=80,16x+14y=-34
פשט.
16x-16x-24y-14y=80+34
החסר את 16x+14y=-34 מ- 16x-24y=80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-24y-14y=80+34
הוסף את 16x ל- -16x. האיברים 16x ו- -16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-38y=80+34
הוסף את -24y ל- -14y.
-38y=114
הוסף את 80 ל- 34.
y=-3
חלק את שני האגפים ב- -38.
8x+7\left(-3\right)=-17
השתמש ב- -3 במקום y ב- 8x+7y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
8x-21=-17
הכפל את 7 ב- -3.
8x=4
הוסף 21 לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}
חלק את שני האגפים ב- 8.
x=\frac{1}{2},y=-3
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}