פתור את {l}{2x-3y=5}{4x-5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 4 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=5$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-5y=7.

$$4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-5y=7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y+5}{2}.

$$6y+10-5y=7$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-5y.

$$y+10=7$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-3.

$$x=\frac{-9+5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 7\\-2\times 5+7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7$$

פשט.

$$8x-12y=20,8x-10y=14$$

החסר את ‎8x-10y=14 מ- ‎8x-12y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-12y+10y=20-14$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y+10y=20-14$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎10y.

$$-2y=20-14$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-14.

$$-2y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎4x-5y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-5\left(-3\right)=7$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-3.

$$4x+15=7$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$4x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-3$$