פתור את {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=1$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=1.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y+1}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{19} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{1}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎-\frac{3}{38} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

פשט.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

החסר את ‎6x+10y=2 מ- ‎6x-9y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-10y=3-2$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-10y.

$$-19y=3-2$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-2.

$$-19y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=-\frac{1}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{19} במקום y ב- ‎3x+5y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{1}{19}.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

הוסף ‎\frac{5}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{24}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{8}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$