פתור את {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎6 כדי לקבל ‎8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$2x+8+3y=15$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$2x+3y=15-8$$

החסר את 8 מ- 15 כדי לקבל 7.

$$2x+3y=7$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=1$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=7.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{3y+1}{2}.

$$3y+1+3y=7$$

הוסף את ‎3y ל- ‎3y.

$$6y+1=7$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$6y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎6 כדי לקבל ‎8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$2x+8+3y=15$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$2x+3y=15-8$$

החסר את 8 מ- 15 כדי לקבל 7.

$$2x+3y=7$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎6 כדי לקבל ‎8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$2x+8+3y=15$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$2x+3y=15-8$$

החסר את 8 מ- 15 כדי לקבל 7.

$$2x+3y=7$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

החסר את ‎2x+3y=7 מ- ‎2x-3y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-3y=1-7$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-3y.

$$-6y=1-7$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-7.

$$-6y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎2x+3y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3=7$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$2x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1$$