פתור את {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-5$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+9y=-7.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+9y=-7$$

הוסף את ‎6y ל- ‎9y.

$$15y-10=-7$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$15y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{3}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

פשט.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

החסר את ‎8x+18y=-14 מ- ‎8x-12y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-18y=-20+14$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-18y.

$$-30y=-20+14$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎14.

$$-30y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-30.

$$y=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום y ב- ‎4x+9y=-7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{1}{5}.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

החסר ‎\frac{9}{5} משני אגפי המשוואה.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$