פתור את {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+2.

$$2x-15=3y+6$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-15-3y=6$$

הוסף ‎15 משני הצדדים.

$$2x-3y=6+15$$

חבר את ‎6 ו- ‎15 כדי לקבל ‎21.

$$2x-3y=21$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

הוסף ‎5y משני הצדדים.

$$7x-28+5y=-1$$

הוסף ‎28 משני הצדדים.

$$7x+5y=-1+28$$

חבר את ‎-1 ו- ‎28 כדי לקבל ‎27.

$$7x+5y=27$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=21$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{21+3y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

הוסף את ‎\frac{21y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

החסר ‎\frac{147}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{31}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

הוסף את ‎\frac{21}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+2.

$$2x-15=3y+6$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-15-3y=6$$

הוסף ‎15 משני הצדדים.

$$2x-3y=6+15$$

חבר את ‎6 ו- ‎15 כדי לקבל ‎21.

$$2x-3y=21$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

הוסף ‎5y משני הצדדים.

$$7x-28+5y=-1$$

הוסף ‎28 משני הצדדים.

$$7x+5y=-1+28$$

חבר את ‎-1 ו- ‎28 כדי לקבל ‎27.

$$7x+5y=27$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+2.

$$2x-15=3y+6$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-15-3y=6$$

הוסף ‎15 משני הצדדים.

$$2x-3y=6+15$$

חבר את ‎6 ו- ‎15 כדי לקבל ‎21.

$$2x-3y=21$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

הוסף ‎5y משני הצדדים.

$$7x-28+5y=-1$$

הוסף ‎28 משני הצדדים.

$$7x+5y=-1+28$$

חבר את ‎-1 ו- ‎28 כדי לקבל ‎27.

$$7x+5y=27$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

פשט.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

החסר את ‎14x+10y=54 מ- ‎14x-21y=147 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

הוסף את ‎14x ל- ‎-14x. האיברים ‎14x ו- ‎-14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-21y-10y=147-54$$

הוסף את ‎-21y ל- ‎-10y.

$$-31y=147-54$$

הוסף את ‎147 ל- ‎-54.

$$-31y=93$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-31.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎7x+5y=27. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-3.

$$7x-15=27$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-3$$