פתור את {l}{2x+y-6=0}{2x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y - 6 = 0 } \\ { 2 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$2x+y=6$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2y=0.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+2y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{y}{2}+3.

$$-y+6+2y=0$$

הוסף את ‎-y ל- ‎2y.

$$y+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-6.

$$x=3+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎3.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-2}&-\frac{1}{2\times 2-2}\\-\frac{2}{2\times 2-2}&\frac{2}{2\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

החסר את ‎2x+2y=0 מ- ‎2x+y-6=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+y-2y-6=0$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-2y-6=0$$

הוסף את ‎y ל- ‎-2y.

$$-y-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎2x+2y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+2\left(-6\right)=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-6.

$$2x-12=0$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-6$$