פתור את {l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=k$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+k.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+k}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+2y=1-k.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-y+k}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎2y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

החסר ‎\frac{5k}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=7k-2$$

השתמש ב- ‎-2+7k במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-2+7k.

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

הוסף את ‎\frac{k}{2} ל- ‎1-\frac{7k}{2}.

$$x=1-3k$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

פשט.

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

החסר את ‎10x+4y=2-2k מ- ‎10x+5y=5k על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-4y=5k+2k-2$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-4y.

$$y=5k+2k-2$$

הוסף את ‎5k ל- ‎-2+2k.

$$y=7k-2$$

השתמש ב- ‎-2+7k במקום y ב- ‎5x+2y=1-k. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2+7k.

$$5x+14k-4=1-k$$

החסר ‎-4+14k משני אגפי המשוואה.

$$5x=5-15k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=1-3k$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1-3k,y=7k-2$$