פתור את {l}{2x+y=7}{4x+y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { 4 x + y = 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=7,4x+y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=7$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+y=19.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=19$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-y+7}{2}.

$$-2y+14+y=19$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎y.

$$-y+14=19$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-y=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-5.

$$x=\frac{5+7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=7,4x+y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\times 19\\2\times 7-19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=7,4x+y=19$$

החסר את ‎4x+y=19 מ- ‎2x+y=7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-4x+y-y=7-19$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-4x=7-19$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-4x.

$$-2x=7-19$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-19.

$$-2x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎4x+y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4\times 6+y=19$$

הכפל את ‎4 ב- ‎6.

$$24+y=19$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-5$$