\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667
y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667
גרף
שתף
הועתק ללוח
2x+y=6,4x-y=7
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
2x+y=6
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
2x=-y+6
החסר y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-\frac{1}{2}y+3
הכפל את \frac{1}{2} ב- -y+6.
4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7
השתמש ב- -\frac{y}{2}+3 במקום x במשוואה השניה, 4x-y=7.
-2y+12-y=7
הכפל את 4 ב- -\frac{y}{2}+3.
-3y+12=7
הוסף את -2y ל- -y.
-3y=-5
החסר 12 משני אגפי המשוואה.
y=\frac{5}{3}
חלק את שני האגפים ב- -3.
x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3
השתמש ב- \frac{5}{3} במקום y ב- x=-\frac{1}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-\frac{5}{6}+3
הכפל את -\frac{1}{2} ב- \frac{5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{13}{6}
הוסף את 3 ל- -\frac{5}{6}.
x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}
המערכת נפתרה כעת.
2x+y=6,4x-y=7
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
2x+y=6,4x-y=7
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7
כדי להפוך את 2x ו- 4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 2.
8x+4y=24,8x-2y=14
פשט.
8x-8x+4y+2y=24-14
החסר את 8x-2y=14 מ- 8x+4y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
4y+2y=24-14
הוסף את 8x ל- -8x. האיברים 8x ו- -8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
6y=24-14
הוסף את 4y ל- 2y.
6y=10
הוסף את 24 ל- -14.
y=\frac{5}{3}
חלק את שני האגפים ב- 6.
4x-\frac{5}{3}=7
השתמש ב- \frac{5}{3} במקום y ב- 4x-y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
4x=\frac{26}{3}
הוסף \frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{13}{6}
חלק את שני האגפים ב- 4.
x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}