\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333
y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333
גרף
שתף
הועתק ללוח
2x+y=3,x-y=1
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
2x+y=3
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
2x=-y+3
החסר y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}
הכפל את \frac{1}{2} ב- -y+3.
-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1
השתמש ב- \frac{-y+3}{2} במקום x במשוואה השניה, x-y=1.
-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1
הוסף את -\frac{y}{2} ל- -y.
-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}
החסר \frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.
y=\frac{1}{3}
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}
השתמש ב- \frac{1}{3} במקום y ב- x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}
הכפל את -\frac{1}{2} ב- \frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{4}{3}
הוסף את \frac{3}{2} ל- -\frac{1}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}
המערכת נפתרה כעת.
2x+y=3,x-y=1
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
2x+y=3,x-y=1
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2
כדי להפוך את 2x ו- x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 2.
2x+y=3,2x-2y=2
פשט.
2x-2x+y+2y=3-2
החסר את 2x-2y=2 מ- 2x+y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
y+2y=3-2
הוסף את 2x ל- -2x. האיברים 2x ו- -2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
3y=3-2
הוסף את y ל- 2y.
3y=1
הוסף את 3 ל- -2.
y=\frac{1}{3}
חלק את שני האגפים ב- 3.
x-\frac{1}{3}=1
השתמש ב- \frac{1}{3} במקום y ב- x-y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{4}{3}
הוסף \frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}