פתור את {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{4}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=-6$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}-3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

הוסף את ‎\frac{y}{8} ל- ‎y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$x=-1-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-1.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{4}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{4}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

החסר את ‎-\frac{1}{4}x+y=3 מ- ‎2x+y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

הוסף את ‎2x ל- ‎\frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎-\frac{1}{4}x+y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-4.

$$1+y=3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=2$$