פתור את {l}{2x+y=-3m+2}{x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 3 m + 2 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2m$$

$$y=m+2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=2-3m$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+2-3m$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2-3m\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y-3m+2.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}-\frac{3m}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+2y=4.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1+2y=4$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{3m}{2}+1=4$$

החסר ‎-\frac{3m}{2}+1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3m}{2}+3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=m+2$$

השתמש ב- ‎2+m במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y-\frac{3m}{2}+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)-\frac{3m}{2}+1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2+m.

$$x=-\frac{m}{2}-1-\frac{3m}{2}+1$$

הוסף את ‎-\frac{3m}{2}+1 ל- ‎-1-\frac{m}{2}.

$$x=-2m$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2m,y=m+2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2-3m\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(2-3m\right)-\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}\left(2-3m\right)+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2m\\m+2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2m,y=m+2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=2-3m,x+2y=4$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+y=2-3m,2x+2\times 2y=2\times 4$$

פשט.

$$2x+y=2-3m,2x+4y=8$$

החסר את ‎2x+4y=8 מ- ‎2x+y=2-3m על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+y-4y=2-3m-8$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-4y=2-3m-8$$

הוסף את ‎y ל- ‎-4y.

$$-3y=2-3m-8$$

הוסף את ‎-3m+2 ל- ‎-8.

$$-3y=-3m-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=m+2$$

השתמש ב- ‎2+m במקום y ב- ‎x+2y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+2\left(m+2\right)=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2+m.

$$x+2m+4=4$$

החסר ‎4+2m משני אגפי המשוואה.

$$x=-2m$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2m,y=m+2$$