פתור את {l}{2x+y=-1}{3x+y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=-1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y-1.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=0.

$$3\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}+y=0$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=0$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-3.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)\\3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

החסר את ‎3x+y=0 מ- ‎2x+y=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-3x+y-y=-1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-3x=-1$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-3x.

$$-x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎3x+y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3+y=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-3$$