פתור את {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+9y=19$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-9y+19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-9y+19}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

החסר ‎38 משני אגפי המשוואה.

$$\left(m-18\right)y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{-18+m} במקום y ב- ‎x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{9}{2} ב- ‎\frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

הוסף את ‎\frac{19}{2} ל- ‎-\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

פשט.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

החסר את ‎8x+2my=106 מ- ‎8x+36y=76 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

הוסף את ‎36y ל- ‎-2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

הוסף את ‎76 ל- ‎-106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{18-m} במקום y ב- ‎4x+my=53. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

הכפל את ‎m ב- ‎-\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

הוסף ‎\frac{15m}{18-m} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$