פתור את {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+7y=15$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-7y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+15}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{2} ל- ‎-5y.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

החסר ‎\frac{45}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{31}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{31}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{31} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{2} ב- ‎-\frac{1}{31} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎\frac{7}{62} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{236}{31}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

פשט.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

החסר את ‎6x-10y=46 מ- ‎6x+21y=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y+10y=45-46$$

הוסף את ‎21y ל- ‎10y.

$$31y=45-46$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-46.

$$31y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎31.

$$y=-\frac{1}{31}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{31} במקום y ב- ‎3x-5y=23. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

החסר ‎\frac{5}{31} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{708}{31}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{236}{31}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$