פתור את {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=13$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+13.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+13}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+7y=-17.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎7y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

החסר ‎\frac{13}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{47}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{47}{9} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎-\frac{47}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

הוסף את ‎\frac{13}{2} ל- ‎\frac{235}{18} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{176}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

פשט.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

החסר את ‎2x+14y=-34 מ- ‎2x+5y=13 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-14y=13+34$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-14y.

$$-9y=13+34$$

הוסף את ‎13 ל- ‎34.

$$-9y=47$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=-\frac{47}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{47}{9} במקום y ב- ‎x+7y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{47}{9}.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

הוסף ‎\frac{329}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{176}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$