פתור את {l}{2x+4y=4}{3x+5y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 4 } \\ { 3 x + 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-10$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+4y=4,3x+5y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+4y=4$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4y+4.

$$x=-2y+2$$

השתמש ב- ‎-2y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=0.

$$3\left(-2y+2\right)+5y=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y+2.

$$-6y+6+5y=0$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎5y.

$$-y+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-2y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 6+2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎6.

$$x=-12+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-12.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+4y=4,3x+5y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 5-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 5-4\times 3}&\frac{2}{2\times 5-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&2\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 4\\\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-10,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+4y=4,3x+5y=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 4,2\times 3x+2\times 5y=0$$

פשט.

$$6x+12y=12,6x+10y=0$$

החסר את ‎6x+10y=0 מ- ‎6x+12y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+12y-10y=12$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-10y=12$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-10y.

$$2y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎3x+5y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\times 6=0$$

הכפל את ‎5 ב- ‎6.

$$3x+30=0$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=6$$