פתור את {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+4y=2060$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4y+2060$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

השתמש ב- ‎-2y+1030 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎7y.

$$-3y+5150=1640$$

החסר ‎5150 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-3510$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=1170$$

השתמש ב- ‎1170 במקום y ב- ‎x=-2y+1030. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 1170+1030$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎1170.

$$x=-2340+1030$$

הוסף את ‎1030 ל- ‎-2340.

$$x=-1310$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1310,y=1170$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1310,y=1170$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

פשט.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

החסר את ‎10x+14y=3280 מ- ‎10x+20y=10300 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-14y=10300-3280$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-14y.

$$6y=10300-3280$$

הוסף את ‎10300 ל- ‎-3280.

$$6y=7020$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=1170$$

השתמש ב- ‎1170 במקום y ב- ‎5x+7y=1640. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+7\times 1170=1640$$

הכפל את ‎7 ב- ‎1170.

$$5x+8190=1640$$

החסר ‎8190 משני אגפי המשוואה.

$$5x=-6550$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-1310$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1310,y=1170$$