פתור את {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+4y=12$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4y+12.

$$x=-2y+6$$

השתמש ב- ‎-2y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-8y.

$$-18y+30=16$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$-18y=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=\frac{7}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{9} במקום y ב- ‎x=-2y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

פשט.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

החסר את ‎10x-16y=32 מ- ‎10x+20y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y+16y=60-32$$

הוסף את ‎20y ל- ‎16y.

$$36y=60-32$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-32.

$$36y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎36.

$$y=\frac{7}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{9} במקום y ב- ‎5x-8y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

הוסף ‎\frac{56}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{200}{9}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{40}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$