פתור את {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+4y=1$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-2y+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-6y.

$$-10y+1=-4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-10y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=-2y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎-1.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

החסר את ‎2x-6y=-4 מ- ‎2x+4y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+6y=1+4$$

הוסף את ‎4y ל- ‎6y.

$$10y=1+4$$

הוסף את ‎1 ל- ‎4.

$$10y=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎2x-6y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$