פתור את {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1.2$$

$$y=1.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=7.8$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+7.8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7.8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+7.8.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+4y=13.2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13.2$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13.2$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{2} ל- ‎4y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13.2$$

החסר ‎\frac{39}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{9}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

הוסף את ‎\frac{39}{10} ל- ‎-\frac{27}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7.8+\frac{3}{7}\times 13.2\\\frac{5}{7}\times 7.8-\frac{2}{7}\times 13.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7.8,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13.2$$

פשט.

$$10x+15y=39,10x+8y=26.4$$

החסר את ‎10x+8y=26.4 מ- ‎10x+15y=39 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+15y-8y=39-26.4$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-8y=39-26.4$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-8y.

$$7y=39-26.4$$

הוסף את ‎39 ל- ‎-26.4.

$$7y=12.6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום y ב- ‎5x+4y=13.2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13.2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{9}{5}.

$$5x+\frac{36}{5}=13.2$$

החסר ‎\frac{36}{5} משני אגפי המשוואה.

$$5x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$