פתור את {l}{2x+3y=6}{-4x+3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { - 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=6$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+3y=12.

$$-4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+3y=12$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{3y}{2}+3.

$$6y-12+3y=12$$

הוסף את ‎6y ל- ‎3y.

$$9y-12=12$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$9y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}+3$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{8}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-4+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-4.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 3-3\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

החסר את ‎-4x+3y=12 מ- ‎2x+3y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x+4x+3y-3y=6-12$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x+4x=6-12$$

הוסף את ‎2x ל- ‎4x.

$$6x=6-12$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-12.

$$6x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎-4x+3y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-4\left(-1\right)+3y=12$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$4+3y=12$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$3y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{8}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$