פתור את {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+14y=-28$$

החסר ‎14y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-14y-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-14y-28.

$$x=-7y-14$$

השתמש ב- ‎-7y-14 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

הוסף את ‎28y ל- ‎-14y.

$$14y+56=28$$

החסר ‎56 משני אגפי המשוואה.

$$14y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-7y-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-2.

$$x=14-14$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎14.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

פשט.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

החסר את ‎-8x-28y=56 מ- ‎-8x-56y=112 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-56y+28y=112-56$$

הוסף את ‎-56y ל- ‎28y.

$$-28y=112-56$$

הוסף את ‎112 ל- ‎-56.

$$-28y=56$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-28.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-4x-14y=28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

הכפל את ‎-14 ב- ‎-2.

$$-4x+28=28$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$