פתור את {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$2x+10-4y=-16x$$

הוסף ‎16x משני הצדדים.

$$2x+10-4y+16x=0$$

כנס את ‎2x ו- ‎16x כדי לקבל ‎18x.

$$18x+10-4y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$18x-4y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎11y משני האגפים.

$$10y-10x-11y=-12x$$

כנס את ‎10y ו- ‎-11y כדי לקבל ‎-y.

$$-y-10x=-12x$$

הוסף ‎12x משני הצדדים.

$$-y-10x+12x=0$$

כנס את ‎-10x ו- ‎12x כדי לקבל ‎2x.

$$-y+2x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$18x-4y=-10$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$18x=4y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{18} ב- ‎4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y-5}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

הוסף את ‎\frac{4y}{9} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

הוסף ‎\frac{10}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

הכפל את ‎\frac{2}{9} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{9} ל- ‎-\frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$2x+10-4y=-16x$$

הוסף ‎16x משני הצדדים.

$$2x+10-4y+16x=0$$

כנס את ‎2x ו- ‎16x כדי לקבל ‎18x.

$$18x+10-4y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$18x-4y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎11y משני האגפים.

$$10y-10x-11y=-12x$$

כנס את ‎10y ו- ‎-11y כדי לקבל ‎-y.

$$-y-10x=-12x$$

הוסף ‎12x משני הצדדים.

$$-y-10x+12x=0$$

כנס את ‎-10x ו- ‎12x כדי לקבל ‎2x.

$$-y+2x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$2x+10-4y=-16x$$

הוסף ‎16x משני הצדדים.

$$2x+10-4y+16x=0$$

כנס את ‎2x ו- ‎16x כדי לקבל ‎18x.

$$18x+10-4y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$18x-4y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎11y משני האגפים.

$$10y-10x-11y=-12x$$

כנס את ‎10y ו- ‎-11y כדי לקבל ‎-y.

$$-y-10x=-12x$$

הוסף ‎12x משני הצדדים.

$$-y-10x+12x=0$$

כנס את ‎-10x ו- ‎12x כדי לקבל ‎2x.

$$-y+2x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

כדי להפוך את ‎18x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎18.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

פשט.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

החסר את ‎36x-18y=0 מ- ‎36x-8y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

הוסף את ‎36x ל- ‎-36x. האיברים ‎36x ו- ‎-36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y+18y=-20$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎18y.

$$10y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎2x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-2$$