פתור את {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4n משני האגפים.

$$-m+5-4n=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-m-4n=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2m-3n=130$$

הוסף ‎3n לשני אגפי המשוואה.

$$2m=3n+130$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

השתמש ב- ‎\frac{3n}{2}+65 במקום ‎m במשוואה השניה, ‎-m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

הוסף את ‎-\frac{3n}{2} ל- ‎-4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

הוסף ‎65 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=-\frac{120}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{120}{11} במקום n ב- ‎m=\frac{3}{2}n+65. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{120}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

הוסף את ‎65 ל- ‎-\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4n משני האגפים.

$$-m+5-4n=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-m-4n=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4n משני האגפים.

$$-m+5-4n=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-m-4n=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

כדי להפוך את ‎2m ו- ‎-m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

פשט.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

החסר את ‎-2m-8n=-10 מ- ‎-2m+3n=-130 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

הוסף את ‎-2m ל- ‎2m. האיברים ‎-2m ו- ‎2m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3n+8n=-130+10$$

הוסף את ‎3n ל- ‎8n.

$$11n=-130+10$$

הוסף את ‎-130 ל- ‎10.

$$11n=-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$n=-\frac{120}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{120}{11} במקום n ב- ‎-m-4n=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

החסר ‎\frac{480}{11} משני אגפי המשוואה.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$m=\frac{535}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$