פתור את {l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2m-3n=1$$

הוסף ‎3n לשני אגפי המשוואה.

$$2m=3n+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3n+1}{2} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎\frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎\frac{3n+1}{2}.

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

הוסף את ‎\frac{5n}{2} ל- ‎-2n.

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

החסר ‎\frac{5}{6} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$n=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום n ב- ‎m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

כדי להפוך את ‎2m ו- ‎\frac{5m}{3} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{5}{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

פשט.

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

החסר את ‎\frac{10}{3}m-4n=2 מ- ‎\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

הוסף את ‎\frac{10m}{3} ל- ‎-\frac{10m}{3}. האיברים ‎\frac{10m}{3} ו- ‎-\frac{10m}{3} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

הוסף את ‎-5n ל- ‎4n.

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎-2.

$$-n=-\frac{1}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$n=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום n ב- ‎\frac{5}{3}m-2n=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$m=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$